Мужская фамилия Гайдук склоняется (Гайдука, Гайдуку и т. д.), женская – нет.
Верно: автомобиль "Лада Ларгус".
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.
Верно: автомобиль «ГАЗ Егерь».
Обычно местоимение его относится к ближайшему существительному мужского рода в форме единственного числа. Но все же здесь возможно двоякое толкование, и предложение лучше построить иначе.