Названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения. Верно: из Республики Маврикий.
В предложном падеже правильно: на Маврикии. С другими падежами трудностей быть не должно.
Верно: царский оливье.
В данных названиях ни кавычки, ни прописные буквы не нужны.