Разводить курей – так говорить нельзя. Правильно: разводить кур.
Написание слова объясняется его происхождением. Оно имеет южнославянские корни, как и большинство слов с корнем -равн-. Корень -ровн- имеет восточнославянское происхождение. Академик В. В. Виноградов предполагал, что слово равнодушие могло означать 'одинаковость, равность, постоянство внутри одного сознания'. Подробнее об этом можно прочитать в книге В. В. Виноградова «История слов» (электронный вариант статьи из этой книги см. на сайте «Этимология и история слов русского языка»).
В современном русском языке в слове белорусский один корень – белорус-.
Устойчивое сочетание: быть в курсе чего-то. Второй вариант управления неправильный.
Постановка тире в предложении уместна при наличии логической интонационной паузы между подлежащим и сказуемым.