Эту фамилию следует склонять.

Отдельного слова, которое бы называло самца кукушки, в современном русском языке нет.

В словаре Даля зафиксировано слово зегзица 'кукушка'. Это же слово фиксирует и Словарь-справочник «Слова о полку Игореве».

Тире поставлено между неоднословным приложением и определяемым словом. Но мы бы поставили запятую на месте тире.

Нет, в слове кукушка суффикс -шк-. Гласная у принадлежит корню (в этом слове два корня -ку-).

Приложение – определение, выраженное именем существительным, согласующимся с определяемым словом в падеже (город-крепость, художник-пейзажист). Обособленные приложения – выделенные интонационно и пунктуационно члены предложения, выступающие в функции приложения. (Прославленный разведчик, Травкин остался тем же тихим и скромным юношей. Глашатай лесов – кукушка известила всех о событии.)