Есть орфографическое правило: пишутся через дефис прилагательные, образованные от существительных, пишущихся через дефис, в том числе от пишущихся через дефис собственных имен, напр.: санкт-петербургский (от Санкт-Петербург), нью-йоркский (Нью-Йорк), коста-риканский (Коста-Рика), лос-анджелесский (Лос-Анджелес), сан-францисский (Сан-Франциско), алма-атинский (Алма-Ата), йошкар-олинский (Йошкар-Ола), усть-каменогорский (Усть-Каменогорск), соль-илецкий (Соль-Илецк), орехово-зуевский (Орехово-Зуево) и т. д. Исключения: москворецкий и китайгородский. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. Поэтому орфографически верно: коста-риканский кролик.

Если кролик - основной компонент блюда, верно: рагу из кролика.

Существительное бат склоняется. Правильно: 10 батов.

Правильно: от оживания. Существительное оживление образуется от глаголов оживить (оживлять) и оживиться (оживляться). От глагола ожить 'стать снова живым, воскреснуть' образуется существительное оживание.

Ответим словами Самуила Маршака:

Побежала мышка-мать,
Стала кошку в няньки звать:
- Приходи к нам, тетя кошка,
Hашу детку покачать.

Приложение, стоящее после определяемого слова (мышка-мать; еж-папа), присоединяется дефисом. Приложение, расположенное перед определяемым словом, пишется отдельно (тетя кошка, папа еж, дедушка крокодил, Братец Кролик).

Если это сочетание осмысляется именно как имя персонажа, а не как описательный оборот, то возможны два варианта: Крысиный король и Крысиный Король. Ср.: Маленький принц, Зеленый рыцарь и Прекрасная Дама, Белый Кролик. Выбор за автором.