Мужская фамилия Косач склоняется (независимо от места ударения), женская – нет.
Верны оба варианта.
Правильно: косуля, -и; р. мн. косуль.
При слове семья нерусская фамилия обычно сохраняет форму единственного числа: семья Кобзарь.
Вероятно, Михаилу Костю. Но нужно уточнить у носителя фамилии.