Правильно: распаечная коробка.
Правильно: распаечная коробка.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Правильно: клеммная коробка.
Употребительно: пакет сока.
Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
В современном русском языке эти слова однокоренными не является (да и их этимологическое родство небесспорно, хотя вероятно).