Верно: конкурс чего-либо (конкурс поделок); конкурс по изготовлению чего-либо.

Если слово конкурс стоит не в начале предложения, его следует писать с маленькой буквы, например: Объявлен конкурс "Лето прошло".

Корректно слитное написание: конкурс признан несостоявшимся.

Пишется раздельно: мини вокальный конкурс.

Если речь идет о конкурсе, то кавычки нужны: на «Евровидение-2016» поедет Лазарев; конкурс «Евровидение». О написании названия Евровидение в кавычках и без них см. дополнительные материалы в статье Евровидение ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря».  

Слово конкурс может писаться с большой буквы, например, если это первое слово официального названия. В данном случае нет оснований писать слово конкурс с большой буквы.

Мы также рекомендуем немного перестроить предложение: Предприятие проводит конкурс "Золотая осень" для детей сотрудников.

Неясен смысл фразы. Имеется в виду, что заявка сначала выиграла конкурс, а потом ее "признали"?

Корректно: И не мешкая отправляйте рисунок на конкурс. Деепричастие не выделяется запятыми, так как оно близко по значению к наречию (не мешкая = немедленно, быстро).

Слово конкурс в значении "число претендентов на победу в соревновании" сочетается с прилагательным высокий.