Возможны варианты: коми песни, коми блюда и песни коми, блюда коми. Вариант коми песни, коми блюда не является ошибочным, потому что слово коми может употребляться не только как существительное в значении 'народ', но и как неизменяемое прилагательное в значении 'принадлежащий этому народу'.

Форма ед. ч. м. и ж. р. звучит так же - коми.

Да, мужская фамилия Котик склоняется.

В обоих случаях местоимение свой употреблено корректно.

Верно: способы избавления от колик. Подробнее см. в словарях.

Тире между подлежащим и сказуемым, выраженными именительным падежом существительного, обычно не ставится, если перед сказуемым стоит отрицание не. Тире ставится, только если надо логически и интонационно подчеркнуть сказуемое.

Верно: в школе г. Сыктывкара.

Запятая перед например не нужна. Если вводное слово стоит в начале или в конце обособленного оборота, то никаким знаком препинания от оборота оно не отделяется.