Верно: код банковской карты. Предлог может использоваться при определенном строе предложения.
Графическое сокращение — фин. код, сложносокращенное слово — финкод. Обе записи орфографически корректны.
Как правило, цифры кода заключают в скобки.
Ударение остается на корне: коды.
Слово в ближайшее время будет зафиксировано в академическом орфографическом словаре с рекомендацией писать через дефис: тайм-код.