Правильно: кРЕкер.
Это слово уже зафиксировано в академическом орфографическом словаре.
Нет, фамилии пишутся по сложившейся традиции, написание закрепляется в документах.
В вопросах правописания рекомендуем ориентироваться на орфографический словарь, то есть использовать вариант кеш.
Правильно: берш (через е, не ё). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012; Биологический энциклопедический словарь. М., 1989. (В обоих изданиях буква ё в заголовочных словах в случае ее наличия пишется.)
Правильно: кеш. Колебания в написании недавно заимствованных слов и неодинаковая их фиксация в разных словарях (или разных изданиях одного и того же словаря) – вещь вполне естественная: слово осваивается в языке. В спорных случаях лучше придерживаться рекомендаций орфографического словаря.