Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.

Вопрос корректен, т. к. значение слова репрессия – 'карательная мера со стороны государственных органов'. Этой карательной мерой может быть не только расстрел, но и тюремное заключение, ссылка.

Фамилия склоняется.

Конечно, возможно. Именительный падеж мн. числа – кары, родительный – кар.

Такие дискуссии, действительно, велись, ведутся и, наверное, будут вестись неоднократно. В обозримом будущем о переходе русского языка на латиницу речи не идет, и, наверное, это хорошо. И дело даже не в том, что в русском языке много таких звуков, для которых в латинице нет соответствующих букв, – в конце концов, проблему можно решить с помощью диакритических знаков. Но кириллица – это неотъемлемая часть тысячелетней истории и культуры России, и отказаться от нее только ради удобства электронной переписки вряд ли возможно. Во всяком случае, это будет колоссальнейшим социальным потрясением для всего нашего общества – особенно если учесть, сколько общественного гнева вызывали в свое время предложения внести несколько незначительных изменений в правила правописания. А ведь по сравнению с идеей перехода на латиницу это были более чем невинные предложения.
Так что, отвечая на Ваш вопрос, можно сказать так: сейчас нам это не нужно.

Считаем правомерным.

Грамматически слово кара имеет форму множественного числа, однако о правомерности её употребления можно судить только на основе контекста.

Да, слова тарантелла и тарантул этимологически связаны. Оба они заимствованы из итальянского языка в XIX веке и являются суффиксальными производными от названия города Taranto.
Слово каракуль заимствовано в середине XIX века из тюркского языка, где оно восходит к топониму Кара-Куль (оазис около Бухары, где начали выводить соответствующую породу овец), сложению кара «чёрная» и кул «озеро» (ср. Иссык-Куль, буквально -- «горячее озеро»). Мех назван по месту его «производства». Слово каракульча -- производное от каракуль.

Эти слова не имеют общего происхождения. Слово коричневый -- производное от корица (буквально -- «цвета коры коричневого дерева»). Слово карий заимствовано в древнерусскую эпоху из тюркского языка (кара -- «чёрный»).