Верно: казахский музей-юрта (по аналогии с музей-квартира).
Согласно словарям, прилагательное казахский относится и к слову казахи, и к слову Казахстан. Поэтому можно и так и так.
Употребление этих слов аналогично употреблению слов финский и финляндский, см. ответ № 237226.
С большой буквы пишется только первое слово: Казахский политехнический институт им. В. И. Ленина.
Дело в том, что по отношению к интересующему Вас слову нет устоявшейся нормы. По аналогии с англоязычным, действительно, казахоязычный - предпочтительный вариант.