Правильно: исчерпать.

Да, в словарях рекомендации противоположные. Есть словари, где предпочтение отдается варианту исчерпАть, но всё же пока большинство изданий на стороне варианта исчЕрпать.

Это выражение корректно.

Ударение падает на второй слог.

Слово исчезать заимствовано из старославянского языка, в котором оно производно от чезати 'пропадать' (того же корня, что и казить 'портить, разрушать' в исказить). Дальнейшая история этого корня недостаточно ясна, но, по-видимому, он восходит к древней индоевропейской основе; лингвисты полагают, что к той же основе восходит, например, норвежское kvekke 'съеживаться (от страха), пугаться'.

Все приведенные слова есть в наших электронных словарях. Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».

Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на нашем портале.

Обратитесь, пожалуйста, к словарям рубрики "Искать на Грамоте" на нашем портале.

Можно проверить при помощи однокоренного слова - посвЕркивать.