Общая рекомендация — оформлять такие сочетания как описательные обороты, то есть писать без заглавных букв. При этом заметим, что нельзя исключить возможность их написания с прописной как устойчиво употребляемых усеченных названий.
Корректно написание строчными буквами.
Корректно: тульский самовар, тульские пряники.
Да, есть.
Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.
Запятой выделяется придаточное предложение.
Оба варианта корректны.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).