Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Верно: умеет избегать конфликтных ситуаций.
Верно: избегать продуктов с содержанием жиров.
Правильно: избрать председательствующим И. И. Иванова.
Глагол избегать требует родительного падежа: избегать резких движений.
Возможны оба варианта.