Общепринятая формулировка: заявление на отпуск.
Корректно: заявление о предоставлении (но: заявка на предоставление).
Корректно: заявление о предоставлении...
Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.
Корректно: заявление прокурора города Аргуна.
См. образец заявления в Письмовнике.
Правильно: исковое заявление.
Заявление пишется в свободной форме. Рекомендации по оформлению заявлений см. в рубрике "Письмовник" на нашем портале: Как писать заявление?
Верно: исковОе заявление.