Корни АУ и БАЮ.
Верно: заход солнца и закат. Слово закат употребляется также в переносных значениях:
- Время захода солнца. Вернуться домой на закате. После заката заметно похолодало. Трудиться от восхода до заката.
- Окраска, освещение неба над горизонтом при заходе солнца. Любоваться закатом. Рисовать, снимать з.
- Конец, исход, упадок. З. молодости. З. античной цивилизации. З. эпохи Просвещения. Золотой з. Римской империи. Жизнь близится к закату. ◊ На закате дней (жизни). В старости. На закате дней он решил жениться.
Верен первый вариант.
Затмеваю - форма глагола затмевать. Форма 1-го лица глагола затмить - затмлю.
В корне -тир- пишется и, поскольку после него следует а. Подробнее см. в "Учебнике ГРАМОТЫ".