Оба варианта правильны.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).
Предпочтительно: не задавать вопросов.
Такого фразеологизма в русском литературном языке нет.