Возможны оба варианта. В первом случае имеется в виду еда вообще, во втором — какая-то конкретная еда.
Недопустимо. Нормативно: поезжай.
Верно: еду за едой.
Предлог по в значении "за" (по воду, по грибы, по ягоды) имеет очень ограниченную сферу употребления и является разговорным.
Верно: ...находился в сильном нервном напряжении, едва не стоившем ему жизни.
Оба глагола можно использовать.
Едва ли не пишется слитно. Правильно только раздельное написание.