Правильно: Бывало, они вместе собирались за чаем. Им бывало весело.
Да, это вводное слово, которое нужно обособить.
См. ответ № 168996 . Пожалуйста, пользуйтесь строкой «Искать на Грамоте»: это позволяет получить ответ намного быстрее.
Сочетание как ни в чем не бывало не требует обособления: Девушка как ни в чем не бывало широко улыбается.
Оба варианта корректны, подробнее см. в вопросе 281220.
Правильно: как не бывало, дождя как не бывало. Здесь употребляется не в своей обычной функции отрицательной частицы.