Правильно: Академия дель Чименто.
Следует склонять только мужскую фамилию Доль.
Верно без тире: Не покупайте фрукты с признаками загнивания, арбузы и дыни частями.
Указанные запятые нужны.
Раздельное написание не является ошибочным.
Есть словарная фиксация: комедия дель арте.
Словарной фиксации нет. Корректно написание без мягкого знака.
По стилистическим соображениям лучше не ставить рядом двух однокоренных слов. Подобрать правильную замену можно, только зная контекст.