Воспользуйтесь, пожалуйста, «Словарем трудностей».
В словарях такое употребление глагола "бояться" отмечено. Ошибки нет.
Правильно: кулер.
Словарями современного русского литературного языка такое слово не зафиксировано. В официальных документах (и вообще в письменной речи) лучше его не использовать.
1, 2. Возможны оба варианта. 3. См. ответ № 190904. 4. См. в Письмовнике.