Правильно: поехали в Дубай.
Словари собственных имен (см., например: Ф. Л. Агеенко. Собственные имена в русском языке. М., 2001) фиксируют вариант Дубай (Дибай). Правильно: в Дубае (Дибае). Ср.: сарай – в сарае.
См. в рубрике «Актуальный вопрос».
Правильно: Дубай. Это название склоняется.
Правильно: имплантат и имплант (этот вариант недавно появился в словарях, прежде он не фиксировался). А вот имплантант – ошибка.
Фамилия склоняется. Правильно: Елене Дубине.
Правильно: Дубай. Это название склоняется.