Предпочтительно: при происшествии.

Фраза По данным ГИБДД, дорожно-транспортных происшествий в эти дни не зарегистрировано построена правильно. Ошибки в ней нет. Она построена по модели "причастный предикатив + существительное в форме родительного падежа", это одна из схем, по которой строятся простые предложения в русском языке. Ср.: Подтверждения не получено. Хлеба не куплено. Денег адресату не выслано. Из этой истории никем не сделано необходимых выводов. Все эти фразы грамматически правильные.
Что касается фразы Вас здесь не стояло, то она не имеет отношения к рассматриваемому типу предложений. Ошибка здесь даже не столько в построении предложения, сколько в неправильной форме слова - в том, что глагол стоять употребляется как безличный. Безличные глаголы обозначают действие, у которых нет производителя (смеркалось), или действие, которое мыслится как происходящее помимо воли субъекта (меня знобит). Стоять - действие, у которого есть производитель и которое не может происходить без его воли, поэтому безличной формы у глагола стоять быть не может.

Действительно, это грубая речевая ошибка. Следует строить предложения иначе, например: инцидент произошел, происшествие случилось.