Первое слово в таких названиях пишется с большой (прописной) буквы.
Правильно: Всевеликое войско Донское.
Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований — географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов.
В остальных случаях они пишутся со строчной буквы.
Ср., напр.: невские берега, невские набережные и Александр Невский, Невский проспект, Невская битва; донское казачество и Дмитрий Донской, Донской монастырь; московские улицы, кварталы, московский образ жизни и Московская область, Московский вокзал (в Петербурге), Московская государственная консерватория; казанские достопримечательности и Казанский кремль, Казанский университет, Казанский собор (в Петербурге, Москве); северокавказская природа и Северо-Кавказский регион, Северо-Кавказский военный округ; 1-й Белорусский фронт, Потсдамская конференция, Санкт-Петербургский монетный двор, Великая Китайская стена, Большой Кремлёвский дворец.
В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) зафиксировано: Всевеликое войско Донское. В предыдущих изданиях словаря (1999 и 2005) в этом сочетании донское предлагалось писать строчными. Ориентируемся на издание 2012 года. Соответствующие изменения внесены и в электронную версию словаря на нашем портале.
Слово "пригнетыш" можно найти в "Словаре русских народных говоров" (том 31). Там же - пригнетный венец "Венец сруба,в который врублено бревно, служащее опорой для потолка (матица)"; пригнётик - "Жердь, которой прижимают соломенную крышу"; пригнёт - "Тяжелый предмет, гнет; жердь, которой прижимают снопы, сено на возу".
С пригнетом говорить - "Медленно говорить, подчеркивая каждое слово".
Пригнетать,
несов , пригнести - Прижимать, притягивать к чему-л.; пригибать к чему-л.; придавить; говорить низким голосом или медленно, отрывисто.Пригнётка -
"Тяжелый предмет, гнет; жердь, которой прижимают снопы, солому на возу, копны, соломенную крышу и т. п.".Что касается значения "пригнетыша", то Словарь русских народных говоров сообщает следующее: это слово используется в загадке "Всем пригнетыш" (о медведе). В сказке "Теремок" это слово почти что в "строительном значении", а медведь - в роли жерди, прижимающей крышу.
Правильно: область Войска Донского.