Возможны два варианта: Дом моды Chanel и Дом моды "Шанель".
Правильно: Белый дом.
Правила правописания не регламентируют этот вопрос. Как собственные наименования предпочтительно писать с прописной: дом Семьи, дом Договоров и т. д.
Если имеется в виду дом, в котором жил Пушкин, то правильно с маленькой: дом Пушкина.
Оба слова следует писать с маленькой буквы: ювелирный дом, модный дом, парфюмерный дом, модный дом «Название».
Правильно: 2-этажный дом.
Правильно: Центральный дом работников искусств. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово (и входящие в состав названия имена собственные, если они есть).
Правильно: Дом культуры «Олимп».