Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Корректно: диагноз «сахарный диабет».
Верно: ставить диагноз, поставить диагноз.
Корректно написание в кавычках: диагноз «туберкулез».
Правильно: поставить диагноз.
Если название диагноза не согласуется с родовым словом, обычно используются кавычки. Но для написания с прописной нет оснований. Корректно: поставлен диагноз «эпилепсия».
Верное написание: Диагноз «ожирение первой степени» не проблема.
Кавычки нужны.
Возможно: неясной этиологии.