У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко...

...Город большого яблока...

ПО ПРЕДЛОЖЕНИЮ (кого, чего, чьему), в составе обстоятельственного оборота Обстоятельственные обороты «по предложению (кого-либо, чего-либо, чьему-либо)» могут обособляться с целью интонационно-логического выделения. Потом уже голландская Ост-Индская компания, по предложению врача фон Рибека, заняла Столовую бухту. И. Гончаров, Фрегат «Паллада». Правилами игры, по предложению Ростова, было то, чтобы тот, кто будет королем, имел право поцеловать ...

...ПО ПРЕДЛОЖЕНИЮ (кого, чего, чьему), в составе...

...По предложению (кого, чего, чьему)...