Правильно: по грЯзи.
Верно с кавычками.
Сочетание корректно. Забор — процесс по глаголу забирать.
Возможны варианты: грязная дюжина и «грязная дюжина».
Правильно: все в грязи, «жигули» остановились.
Правильно: в грязи, о грязи.
Предложение составлено верно, однако носит несколько книжный характер.