Правильно: Правительство Республики Грузия.
Верны обе формы: туркмен и туркменов. Общего правила для всех названий национальностей нет, в спорных случаях следует сверяться со словарем.
Воспользуйтесь словарями (окно «Искать на Грамоте»).
Возможны оба варианта: в детстве и с детства.
Верно: одной из первых организаций...
Запятые не требуются. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".