Оба варианта возможны.
Можно.
Это существительное мужского рода, правильно: выставить один счет-фактуру.
Это выражение корректно и употребляется.
Напоказ пишется слитно.
Высасывать из пальца – исконно русское выражение. Связано с нервозной привычкой грызть ногти в раздумье.
См. ответ 273286.