Согласно словарям, слово праймериз не имеет формы единственного числа, а значит, род не определяется. Верно: праймериз пройдут.

Если это заголовок в газете или на новостном сайте, следует писать с маленькой буквы. Если это заголовок официального документа, то с большой (но, скорее всего, там будет указано, какой именно области, например Выборы Губернатора Калининградской области).

Постановка запятых не требуется.

В первом предложении 18 сентября выступает в роли уточнения. Во втором предложении в воскресенье — это пояснение. И уточнения, и пояснения выделяются запятыми: В воскресенье, 18 сентября, состоятся выборы. 18 сентября, в воскресенье, состоятся выборы. 

Корректно: ...главные, политическое и культурное, события страны... Но мы рекомендуем перестроить предложение, чтобы оно легче воспринималось. Возможный вариант: Основными испытаниями стали главные события страны: политическое — выборы Президента и культурное — "Славянский базар".

Названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами.

В официальных текстах названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ, Председатель Государственной думы, Премьер-министр Индии, Её Величество Королева Англии. Однако в неофициальных текстах эти названия пишутся со строчной буквы, напр.: выборы президента, выступление председателя Госдумы, распоряжение премьер-министра, приём у королевы.

(Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.)

Да, этот оборот должен быть выделен запятыми.

Верен первый вариант. Лучше: президентские выборы 1980 года в США.

К сожалению, на Ваш вопрос невозможно ответить в рамках справочного жанра.

Ошибки нет. Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода. Поскольку неизвестен пол будущего главы администрации, выбирается мужской род (т. к. женский будет однозначно указывать на то, что глава администрации будет женщиной).