Нужна запятая перед будучи. Обратите внимание, что стилистически предложение небезупречно.
Указанная запятая нужна.
Нет, запятую перед влюблен ставить не надо.
Корректная пунктуация:
Мелодию дивную ту Нажибек,
В Айгуль молодую влюбленный,
Играл над потоком бурлящихся рек,
Порывом души окрыленный.
Пожалуйста, объясните смысл фразы - он не вполне ясен.