Лучше: класть на весы.

Эти слова не однокоренные и даже не родственные. Балласт — из нидерландского ballast или нижненемецкого ballast, восходит к старошведскому barlast < bar ‘пустой’ + last ‘груз’. Баланс — от французского balance ‘весы’, восходит через посредство итальянского bilancio ‘весы, равновесие’ к латинскому bilanx ‘из двух чаш’.

Постановка знака препинания не требуется.

В русском языке есть глагол спарить – спаривать, имеющий два значения: 1) соединить в пару для совместной работы, действия (спарить сеялки, спарить весы, спарить лошадей для езды); 2) свести для случки; случить (самца и самку).

Не видим оснований для кавычек в этом случае.

В этом предложении должна быть употреблена частица ни.

Согласны с Вами, здесь возможны два толкования.

Вы написали правильно. Взвесьтесь – корректная форма повелительного наклонения глагола взвеситься.