Пословица: Каждый сверчок знай свой шесток. А также: Каждый кулик свое болото хвалит.
Верно и так и так.
Оба варианта верны.
Верно: удалить волосы под мышкой. Подробнее см. в словарях.
Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль.
Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь – вырезать. Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).
Правильно: влезать. Влазить – просторечие.
Кальмар – существительное одушевленное. Правильно: варить кальмаров.