Правильно: Пушкинский заповедник.
Если имеются в виду места Оренбурга, связанные с Пушкиным, прилагательное следует писать с маленькой буквы.
Слово пушкинский следует писать с маленькой буквы.
Здесь лучше следовать рекомендациям Мильчина.
Правильно: Институт русской литературы РАН (Пушкинский Дом).
«Русский орфографический словарь» Российской академии наук (М., 2012) фиксирует написание Фонтанный дом.
Да, это название можно отнести к исключениям. В официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведений, обществ, политических партий и т.п. с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные, а также первое слово включаемых в них названий других учреждений и организаций.