Правильно: чижиковский характер (от фамилии Чижиков).
Оба варианта правильны.
Запятая не ставится.
Это выражение корректно и зафиксировано в словарях. Слово носить здесь используется в значении "характеризоваться чем-либо, свидетельствовать о чём-либо".
Это сочетание корректно.