Правильно: документ подписан Бровом.
Выбор гласной в творительном падеже зависит от ударения: БрОвец - БрОвцем; БровЕц - БровцОм.
Трудно судить о корректности фразы, не зная ее смысла. Пожалуйста, поясните значение.
Верно: бровью не поведший.
Правильное написание названия праздника: Новый год.
Возможно (если название комплекса не является топонимом, т. е. географическим названием): горнолыжный комплекс "Бобровый лог".