Это правило действует для безударного корня -лаг- – -лож-. В слове ублажить совсем другой корень (-блаж-).
Да, это корректное сочетание.
Правильно: влезать. Влазить – просторечие.
Корректно: платить за аренду помещения, вносить арендную плату за помещение.
Правильно: служить Отечеству, служить на благо Отечества.
Ложись – форма повелительного наклонения глагола ложиться. Этот глагол (и эта форма глагола) соответствует литературной норме.