Это не однокоренные, но этимологически родственные слова.
См. ответ на вопрос № 279720.
В таких предложениях это частица. Частицы, как и все служебные слова, не являются членами предложения.
Правильно без кавычек: стиль кантри.
Нет оснований писать это слово в кавычках.
Сочетание берег долины некорректно. Берег – это край суши, прилегающий к водоёму, местность (населённые пункты, страны и т. п.), расположенные у моря или реки.