Ехать зайцем – ехать в общественном транспорте без билета. Выражение, по одной из версий, – калька с французского aller (voyager) en lapin, где lapin 'кролик'. Смысл оборота в том, что безбилетный пассажир боится быть пойманным и оштрафованным (дрожит, как заяц): заяц традиционно является олицетворением трусости. По другой версии, выражение появилось в русском языке самостоятельно, в его основе лежит извечное свойство зайца –

...По другой версии, выражение появилось в русском языке самостоятельно, в его основе лежит извечное свойство зайца – проворство, прыгучесть, скорость бега....

...Ехать зайцем...

ПО, предлог (при обозначении основания, причины совершения действия) Обстоятельственные обороты, начинающиеся конструкцией «по + имя существительное в дательном падеже» (по болезни, по глупости, по молодости, по недосмотру, по незнанию, по необходимости, по неосторожности, по рассеянности, по трусости и т. д.) и обозначающие основание, причину совершения действия, обычно не обособляются. Операция бесследно не прошла для Виталии Гордеевны, долго она крепилась, но пришлось всё же по ...

...Судьба бежит, бежит, и горе тому, кто по лени или по глупости отстал от ее волшебного бега. А. Куприн, Колесо времени. По глупости своей я хотел предложить правительству перегородить узкий вход в залив дамбой, дабы отрезать его от моря. К. Паустовский, Кара-Бугаз....

...По (при обозначении основания, причины совершения действия...