Академический орфографический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН рекомендует написание батл.
Правильно без кавычек: наука правит бал.
Здесь Бородин - фамилия?
Правильно: Девочка получила на ЕГЭ 71 балл.
И путешествия ему,
Как всё на свете, надоели,
Он возвратился и попал,
Как Чацкий, с корабля на бал.
Эти слова употреблены по отношению к Онегину. Пушкин сравнивает Онегина с Чацким - главным героем комедии А. С. Грибоедова "Горе от ума", который, возвратясь из странствий, сразу же попал на бал к Фамусову.
В современном русском языке это выражение употребляется для обозначения резкого, неожиданного перехода из одной обстановки в другую.
Кавычки не нужны.