Правильно: через реку Ангару, в городе Иркутске. О склонении географических названий см. в «Письмовнике».

Возможны варианты: агОра и агорА. В греческом первоисточнике ударение падает на последний слог.

Верно: афинская агора.

Извините за неточность в ответе.

Корректно написание Афинская агора  (с прописной буквы пишется первое слово в составе собственных наименований, в т. ч. памятников культуры и архитектуры, ср.: Рязанский кремль).

Если это подпись под текстом, то точка не нужна.

Да, обстоятельственные обороты «по замыслу (кого-либо, чего-либо, чьему-либо)» обычно обособляются. Исключение составляют случаи, когда обороты образуют неразрывные сочетания с глагольными формами. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».

Правильно без запятой.

Традиция ставить точку после имени автора в подписи к стихотворению существует.