автоответчик, -а
Ответы справочной службы
Запятая не нужна. О правилах обособления оборотов с непервообразными предлогами можно прочитать в «Справочнике по пунктуации».
Страница ответаКорректно: оставить сообщение на автоответчике.
Страница ответа