Верно: подровнять газон.
Знаков препинания после слова просьба не требуется: Просьба машины на газон не ставить.
Слова таким образом обособляются как вводные в значении 'итак', 'следовательно' и не обособляются в значении 'таким способом'. Пунктуация зависит от смысла предложения.