Верно при отсутствии противопоставления.
Могут быть использованы оба предлога.
Запятые не нужны.
Слово заживать используется применительно к ранам, ссадинам или частям тела. Пожелания людям звучат так: выздоравливайте, поправляйтесь или пусть нога скорее заживает.
Да, фамилия склоняется (и мужская, и женская): Коцаги, Коцаге и т. д.