В данном случае - со строчной буквы.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Возможны варианты. 

Род несклоняемых существительных, обозначающих географические собственные имена (названия городов, рек, озер, островов, гор и т.д.), определяется по грамматическому роду нарицательного существительного, выступающего в роли родового понятия (т.е. по роду слов город, река, озеро и т.д.), например: солнечный Тбилиси (город), широкая Миссисипи (река), полноводное Эри (озеро), труднодоступная Юнгфрау (гора), живописный Капри (остров). Отступления от правила объясняются влиянием аналогии, употреблением слова в другом значении, тенденцией относить к среднему роду иноязычные несклоняемые слова на -о, например Северное Борнео.

Правильно: микрорайон Агашкина Гора.

В сочетании с географическим термином гора названия женского рода склоняются: на горе Зеленой. Названия мужского рода остаются в начальной форме: у горы Эльбрус.

С географическим термином гора топонимы женского рода могут склоняться: у горы Белухи. Название Мусса-Ачитара лучше не склонять, т. к. это малоизвестное название. Названия гор мужского рода в сочетании с термином гора не склоняются: у горы Эльбрус.

Да, это общепринятое нормативное сокращение.

Верно слитное написание. Также обратите внимание, что предложение Мы – один народ пишется с тире, а не с дефисом.

Юмидный - то же, что и "влажный" (о климате, климатических зонах).

Корректно: ...немецкое слово Berg - "гора".

Верно: Ну и конечно, гора Олимп, самая высокая в Греции.