Верно: в начале XVIII и XIX веке.
Не вызовет сомнения у слушающего вариант в пятнадцатом и шестнадцатом веках.
Верно без буквенного наращения: в начале XX века.
Предпочтительно: прожила добрые (добрых) четверть века.
Форма вечныЯ сочеталась (в дореволюционной орфографии) с существительными женского рода. Верно только: на веки вечные (век - м. р.).
Правильно: в конце XIX – начале XX века.
Кавычки не нужны. Правильно: серебряный век (эпоха расцвета культуры, сопоставимая с золотым веком); но: Серебряный век (в русской культуре и искусстве начала XX в.).
1. В значении "навсегда" - можно.
2. Можно переформулировать: нанес на свои веки, нанес на века.