Верно слитное написание.

Вот цитата из справочника Д. Э. Розенталя, которая более подробно раскрывает смысл правила:
В некоторых случаях возможно двоякое толкование и, как следствие, двоякое написание; ср.: эта задача нетрудная (утверждается «легкость») –- это задача не трудная (отрицается «трудность»); перед нами необычное явление (т. е. редкое) – перед нами не обычное явление (мыслится противопоставление: ...а исключительное, из ряда вон выходящее). При раздельном написании логическое ударение падает на частицу не. При решении таких вопросов необходим более широкий контекст.

Краткая форма болен обозначает временный признак (сейчас болею). Полная форма больной обозначает постоянный признак. Поэтому, чтобы сказать Я заболел и не могу пойти в кино следует употреблять первый вариант.

Корректно написание с маленькой буквы: земной шар, 5 % населения земного шара.

1. Возможно, стоит вспомнить об омонимии. Существует частичная омонимия, при которой совпадают по звучанию отдельные формы слова, образующие омоформы: стекло (существительное) и стекло (глагол). Скажем также (хотя это, наверное, не имеет отношения к вопросу), что «мостом» между глаголом и существительным является инфинитив (неопределенная форма глагола). Дело в том, что по происхождению инфинитив является не чем иным, как существительным. Выдающийся отечественный лингвист А. М. Пешковский писал по этому поводу, что, глядя на инфинитив, можно подумать, будто это глагол, сделавший шаг в сторону существительного, но, зная его историю, можно сказать, что это существительное, не дошедшее на один шаг до глагола.
2. Это слово станет.
3. В словах телеграмма, телевизор, телескоп есть общий компонент теле- (от греч. tele "далеко"). Телега здесь - «четвертый лишний».
4. В этом вопросе имеется в виду различие между краткими и полными прилагательными. В ряде случаев полные прилагательные обозначают постоянный признак, а краткие - временный. Например: девочка больная (постоянный признак) - девочка больна (временно, сейчас). Поэтому для человека лучше, когда он болен, чем когда он больной (обратите внимание: значение больной 'ненормальный' мы здесь не рассматриваем). Но в ряде случае такого различия в значении нет: и умен, и умный обозначают постоянный признак.
5. Ранить, исследовать, активизировать - двувидовые глаголы, т. е. употребляющиеся в значениях как несовершенного, так и совершенного вида (а следовательно, как в настоящем, так и в будущем времени). Так, фраза это ранит меня может означать и настоящее время, и будущее время. Аналогично и с остальными предложениями.

Правильно: больной чем?.

Это сочетание корректно и зафиксировано в словарях.

К сожалению, найти не удалось. Возможно, Вам подскажут посетители нашего «Форума»?

Выражение раковый больной корректно.

Правильно: больной, наблюдаемый врачом.